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Análisis Matemático 66
2025
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.16.
Encontrar todas las asíntotas (vertical, horizontal y oblicua) de la siguientes funciones definidas por :
a)
a)
Respuesta
Estudiamos las asíntotas de la función:
Reportar problema
Identificamos el dominio de
El dominio de es
Asíntotas verticales
En este caso, es candidato a asíntota vertical. Tomamos límite cuando tiende a por derecha y por izquierda:
- Cuando tiende a cero por izquierda:
Acordate que , por eso te queda algo que tiende a cero por algo que tiende a , todo perfecto, cuando tiende a cero por izquierda la función se acerca a . Veamos ahora qué pasa por derecha...
- Cuando tiende a cero por derecha:
Ahora tenemos una indeterminación de tipo "cero x infinito". Al igual que como hicimos en varios items del Ejercicio anterior, podríamos reescribir para aplicar L'Hopital. Probá de hacerlo, vas a llegar igual al resultado, pero yo ya lo hice y creeme que se empieza a tornar bastante cuentoso. Se me ocurrió una manera que sale un poquito más fácil. Si hacemos el cambio de variable , nuestro límite se convierte en...
Fijate que cuando tiende a por derecha, entonces, por como está definida , tiende a . Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:
Aplicamos L'Hopital una vez más...
¡Perfectooo! Por derecha la función se está yendo a . Como ya uno de los límites laterales nos dio infinito, decimos que tiene una asíntota vertical en
Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando tiende a
Arrancamos primero estudiando cómo se comporta la función en
Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero x infinito", podríamos reescribir para aplicar L'Hopital, pero, un camino menos cuentoso podría ser nuevamente tomar el cambio de variable
Fijate que ahora, cuando tiende a , tiende a por derecha. Entonces el límite nos quedaría escrito así:
Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero", ahora si podemos aplicar L'Hopital:
Listo, ya sabemos que se va a cuando
Ahora, para estudiar el comportamiento en el razonamiento es análogo, seguís los mismos pasos que hicimos recién y vas a llegar a...
Bueno, con esto concluimos que no tiene asíntotas horizontales... Lamentablemente vamos a tener que estudiar asíntotas oblícuas jeje...
Asíntotas oblicuas
Empezamos buscando la pendiente de la posible asíntota oblícua:
Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero x infinito", podríamos reescribir para aplicar L'Hopital, pero, un camino menos cuentoso podría ser nuevamente tomar el cambio de variable
Fijate que ahora, cuando tiende a , tiende a . Entonces el límite nos quedaría escrito así:
Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital:
Por lo tanto, la posible pendiente para nuestra asíntota oblicua es .
Buscamos ahora , la ordenada al origen:
Si sacamos factor común :
Este límite no es para nada trivial y, nuevamente, la mejor manera que se me ocurrió para resolverlo es hacer el cambio de variable . Con este cambio de variable, el límite nos queda escrito así:
Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital:
Sigue el "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital una vez más...
Ufff, estuvo difícil este! Finalmente concluimos que y por lo tanto nuestra función tiene una asíntota oblicua en
*Aclaración: Este ejercicio es significativamente más difícil que cualquiera que te puedas cruzar en un parcial o final, así que tranqui si costó, es lo más normal.